ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

ฟังก์ชันค่าสมบูรณ์ถูกกำหนดโดยกฎซึ่งแบ่งออกเป็นสองกรณี

ค่าฟังก์ชันสมบูรณ์ | | จะกำหนดโดย

ค่า absolute ของ x ให้ระยะห่างระหว่าง x และ 0 เป็นบวกหรือศูนย์เสมอ

ตัวอย่างเช่น

|3| = 3, |-3| = 3, |0|=0. | 3 | = 3, | -3 | = 3 | 0 | = 0

โดเมนของฟังก์ชันค่าสมบูรณ์คือ R ทั้งเส้นของจริงในขณะที่ช่วงคือช่วง [0, ∞)

ฟังก์ชันค่าสมบูรณ์สามารถอธิบายกฎ

กราฟมันจะได้รับโดยสมการ y =  กราฟเป็น V

ถ้า A และ B สองจุดบนเส้นจริงแล้วจากนิยามของ | x | เราดูอยู่ที่

ดังนั้น | a -- b | แตกต่างกันขนาดใหญ่และขนาดเล็กของทั้งสองหมายเลขในคำอื่น ๆ | a -- b | คือระยะระหว่างจุด A และ B

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง

(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์      ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B
หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า 

ความสัมพันธ์ (Relation)r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B

โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)

1. โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย D_r ดังนั้น  D_r = {x | (x, y) ε r}
2.  เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R _rดังนั้น  R_r = {y | (x, y) ε r}

สมบัติของการไม่เท่ากัน

บทนิยาม      a < b     หมายถึง    a น้อยกว่า b
                  a > b     หมายถึง    a มากกว่า b
    
สมบัติของการไม่เท่ากัน  

  กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ  

              1. สมบัติการถ่ายทอด     ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c    

      2. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c

      3. จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ
            a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0
            a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0  

      4. สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์
            ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
            ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc 

      5. สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b 

      6. สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
            ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
            ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
    
บทนิยาม     a ≤ b  หมายถึง a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b
                a ≥ b  หมายถึง a มากกว่าหรือเท่ากับ b
                a < b < c  หมายถึง a < b และ b < c
                a ≤ b ≤ c  หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c

การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)

การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นวิธีการสรุปผลมาจากการค้นหาความจริงจากการสังเกตหรือการทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆ แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป

           การหาข้อสรุปหรือความจริงโดยใช้วิธีการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้น  ไม่จำเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง  เนื่องจากการให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นการสรุปผลเกิดจากหลักฐานข้อเท็จจริงที่มีอยู่  ดังนั้นข้อสรุปจะเชื่อถือได้มากน้อยเพียงใดนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูล หลักฐานและข้อเท็จจริงที่นำมาอ้างซึ่งได้แก่ 

     1. จำนวนข้อมูล หลักฐานหรือข้อเท็จจริงที่นำมาเป็นข้อสังเกตหรือข้ออ้างมีมากพอกับการสรุปความหรือไม่ เช่น  ถ้าไปทานส้มตำที่ร้านอาหารแห่งหนึ่งแล้วท้องเสีย แล้วสรุปว่า ส้มตำนั้นทำให้ท้องเสีย การสรุปเหตุการณ์นั้นอาจเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว ย่อมเชื่อถือได้น้อยกว่าการที่ไปรับประทานส้มตำบ่อยๆแล้วท้องเสียเกือบทุกครั้ง

     2. ข้อมูล หลักฐานหรือข้อเท็จจริง เป็นตัวแทนที่ดีในการให้ข้อสรุปหรือไม่ เช่น ถ้าอยากรู้ว่าคนไทยชอบกินข้าวเจ้าหรือข้าวเหนียวมากกว่ากัน   ถ้าถามจากคนที่อาศัยอยู่ในภาคเหนือหรือภาค-อีสาน คำตอบที่ตอบว่าชอบกินข้าวเหนียวอาจจะมีมากกว่าชอบกินข้าวจ้าว แต่ถ้าถามคนที่อาศัยอยู่ในภาคกลางหรือภาคใต้ คำตอบอาจจะเป็นในลักษณะตรงกันข้าม

       

        ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย

           ตัวอย่างที่ 1       จงหาว่า ผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนที่เป็นจำนวนคี่ จะเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ โดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย

                  วิธีทำ          เราจะลองหาผลคูณของจำนวนนับที่เป็นจำนวนคี่หลาย ๆ จำนวนดังนี้

                                      1 × 3 = 3                      3 × 5 = 15                  5 × 7 = 35            7 × 9   = 63

                                      1 × 5 = 5                      3 × 7 = 21                  5 × 9 = 45            7 × 11 = 77

                                      1 × 7 = 7                      3 × 9 = 27                  5 × 11 = 55          7 × 13 = 91 

                                      1 × 9 = 9                      3 × 11 = 33                5 × 13 = 65          7 × 15 = 105

                   จากการหาผลคูณดังกล่าว โดยการอุปนัย จะพบว่า ผลคูณที่ได้เป็นจำนวนคี่

สรุป ผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนที่เป็นจำนวนคี่ จะเป็นจำนวนคี่ โดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย

      

                ตัวอย่างที่ 2    จงหาพจน์ที่อยู่ถัดไปอีก 3 พจน์

                                    1)  1, 3, 5, 7, 9, ...

                                    2)  2, 4, 8, 16, 32, ...

                   วิธีทำ      1) จากการสังเกต พบว่า แต่ละพจน์มีผลต่างอยู่ 2

                                          (3 – 1 = 2, 5 – 3 = 2, 9 - 7 = 2) ดังนั้น อีก 3 จำนวน คือ 11, 13, 15

                                   2) จากการสังเกต พบว่า แต่ละพจน์จะมีการไล่ลำดับขึ้นไป ถ้าลองสังเกตดู จะอยู่ในรูปแบบ 2×2n โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่เริ่มตั้งแต่ 0

ดังนั้น พจน์ที่ 6 คือ 2×25 =64, พจน์ที่ 7 คือ 128 และพจน์ที่ 8 คือ 256

                  หรืออาจมองในอีกแง่หนึ่ง เราจะพบว่า จำนวนแต่ละจำนวนจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ 2 เท่าก็ได้

                  ตัวอย่างที่ 3    ให้เลือกจำนวนนับมาหนึ่งจำนวน และปฏิบัติตามขั้นตอนดังนี้

1.             คูณจำนวนนับที่เลือกไว้ด้วย 4

2.             บวกผลลัพธ์ในข้อ 1. ด้วย 6

3.             หารผลบวกในข้อ 2.ด้วย 2

4.             ลบผลหารในข้อ 3.  ด้วย 3

เช่นถ้าเลือก 5

         1. คูณจำนวนที่เลือกไว้ด้วย   4     จะได้     5 x 4    =    20

         2. บวกผลลัพธ์ในข้อ 1.  ด้วย  6   จะได้    20 + 6   =   26

         3. หารผลบวกในข้อ 2.  ด้วย 2   จะได้      =   13

         4. ลบผลหารในข้อ 3.  ด้วย 3     จะได้     13 – 3    =   10

         จะพบว่าจากจำนวนที่เลือก คือ  5 จะได้คำตอบสุดท้ายเท่ากับ 10 ซึ่งจะมีค่าเท่ากับสองเท่าของจำนวนที่เลือกไว้ครั้งแรกเสมอ

การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)

การให้เหตุผลแบบนิรนัยเป็นการนำความรู้พื้นฐานซึ่งอาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฎ หรือบทนิยาม ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อน และยอมรับว่าเป็นความจริงเพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป เป็นการอ้างเหตุผลที่มีข้อสรุปตามเนื้อหาสาระที่อยู่ภายในขอบเขตของข้ออ้างที่กำหนด

               ตัวอย่างที่ 1      เหตุ   1.สัตว์เลี้ยงทุกตัวเป็นสัตว์ไม่ดุร้าย

                                                     2. แมวทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยง

                                            ผล     แมวทุกตัวเป็นสัตว์ไม่ดุร้าย

            

              ตัวอย่างที่ 2       เหตุ   1. นักเรียน ม.4ทุกคนแต่งกายถูกระเบียบ

                                                     2.  สมชายเป็นนักเรียนชั้น ม.4

                                           ผล    สมชายแต่งกายถูกระเบียบ

              ตัวอย่างที่ 3      เหตุ    1.วันที่มีฝนตกทั้งวันจะมีท้องฟ้ามืดครึ้มทุกวัน

                                                     2. วันนี้ท้องฟ้ามืดครึ้ม

                                          ผล     วันนี้ฝนตกทั้งวัน

        จากตัวอย่างจะเห็นว่าการยอมรับความรู้พื้นฐานหรือความจริงบางอย่างก่อน แล้วหาสิ่งข้อสรุปจากสิ่งที่ยอมรับแล้วนั้น จะเรียกว่าผล การสรุปผลจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ

เป็นการสรุปได้อย่างสมเหตุสมผล

             

              ตัวอย่างที่ 4      เหตุ    1. เรือทุกลำลอยน้ำได้

                                                     2. ถังน้ำลอยน้ำได้

                                          ผล      ถังน้ำเป็นเรือ

               การสรุปผลข้างต้นไม่สมเหตุสมผล แม้ว่าข้ออ้างหรือเหตุทั้งสองจะเป็น แต่การที่เราทราบว่าเรือทุกลำลอยน้ำได้ ก็ไม่ได้หมายความว่าสิ่งอื่นๆที่ลอยน้ำได้จะเป็นเรือเสมอไป 

ข้อสรุปข้างต้นเป็นการสรุปที่ไม่สมเหตุสมผล

                หลักเกณฑ์และวิธีการอ้างเหตุผลแบบนิรนัย เรียกว่า ตรรกศาสตร์นิรนัย ซึ่งสิ่งที่สำคัญในการให้เหตุผลแบบนิรนัย คือตรรกบท (Syllogism)

ตรรกบทหนึ่ง ๆจะประกอบด้วยข้อความ 3 ข้อความ โดยที่ 2 ข้อความแรกเป็นข้อตั้ง และอีกข้อความหนึ่งเป็นข้อยุติ

                ตรรกบท 1 ตรรกบท คือ การอ้างเหตุผลที่ประกอบด้วยพจน์ 3 พจน์ โดยมีพจน์ 2 พจน์ที่มีความสัมพันธ์กับพจน์ที่ 3 ในรูปของภาคประธาน หรือภาคแสดงต่อกันด้วย

                     

                   เช่น             เหตุ    1.สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมเป็นสัตว์เลือดอุ่น

                                                         2.สุนัขเลี้ยงลูกด้วยนม

                                              ผล     สุนัขเป็นสัตว์เลือดอุ่น

                                            

                                     

                                 

            ในการให้เหตุผลแบบนิรนัย รวมถึงจากตัวอย่าง จะเห็นว่า การยอมรับความรู้พื้นฐาน

หรือความจริงบางอย่างก่อน แล้วหาข้อสรุปจากสิ่งที่ยอมรับ ซึ่งจะเรียกว่า ผล การสรุปผลจะ

สรุปได้ถูกต้องก็ต่อเมื่อเป็นการสรุปได้อย่าง สมเหตุสมผล (Valid)

                        เช่น              เหตุ      1. หมูอวกาศทุกตัวบินได้

                                                         2. โน๊ตบินได้

                                             ผล       โน๊ตเป็นหมูอวกาศ

          การสรุปในข้อนี้ไม่สมเหตุสมผล (Invalid) แม้ว่าข้ออ้างทั้งสองจะเป็นจริง แต่การที่เราทราบว่า หมูอวกาศบินได้ ก็ไม่ได้หมายความว่าสิ่งอื่นที่บินได้ต้องเป็นหมูอวกาศเสมอไป

ข้อสรุปดังกล่าวจึงไม่สมเหตุสมผล

         สรุป การให้เหตุผลแบบนิรนัย ผลหรือข้อสรุปจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ ยอมรับเหตุเป็นจริงทุกข้อ และการสรุปสมเหตุสมผล

         การตรวจสอบข้อความว่าสมเหตุสมผลนั้น สามารถทำได้หลายวิธี ในที่นี้ จะนำเสนออยู่ 2 วิธี คือ การใช้แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ในการตรวจสอบ

และการใช้ความสัมพันธ์ระหว่างข้อความตรวจสอบ...

                                                                                               แนวคิด!!!

                                                                                     การให้เหตุผลแบบนิรนัย

                                                                    1. อาศัยหลักฐานจากความรู้เดิม

                                                                    2. เริ่มต้นจากข้ออ้างซึ่งมีลักษณะทั่วไป (Universal) ไปสู่ข้อสรุปซึ่ง มีลักษณะเฉพาะ (particular)

                                                                    3. ความน่าเชื่อถือของข้อสรุปอยู่ในขั้นความแน่นอน (Certainty)

                                                                    4. ไม่ให้ความรู้ใหม่